Galileo observou que a sucesión dos naturais: {1,2,3,4,........} non ten un último termo.
Considerou que a sucesión que ten como termo xeral n2 : {1,4,9,16,.......} e observou que lle ocorre o mesmo.
O que fixo foi asociar ámbalas duas termo a termo, é dicir a cada termo da primeira sucesión lle asociou o correspondente na segunda, é dicir:
A conclusión que obtivo Galileo é que as duas sucesións deben te-lo mesmo múmero de termos, é dicir, ámbalas duas sucesións teñen a mesma cantidade de números, xa que establecera unha correspondencia entre ambas.
Pero daquela, atopámonos frente a unha paradoxa:
"Ámbalas duas sucesións teñen o mesmo múmero de termos, pero os termos que aparecen na segunda sucesión son números naturais, e en consecuencia, tamén son termos da primeira sucesión. Polo tanto a primeira sucesión tem o mesmo número de termos cá segunda, e ó mesmo tempo ten unha cantidade maio".
Conclusión de Galileo:
"Non vexo outra cousa máis que dicir que: infinitos son os números, infinitos os cadrados, infinitas as suas raices: e a multitude dos cadrados non é menor ca de tódolos números, ni esta maior que aquela"
| Trata de razoar esta conclusión |
| ¿Qué opinas acerca das relacións maior que e menor que e as cantidades infinitas? |
O grande matemático Carl Fiedrich Gauss parece que xa apuntaba dotes de xenialidade desde ben pequeno.
Cando contaba só con 7 anos (ainda que nalgunha bibliografía sinalan 10), sorprendeu ó seu mestre. Éste pretendía manter ós alumnos entretidos durante un bo anaco de tempo, e propúxolles que sumasen desde o número 1 ata o 100. Gauss entregou a pizarra ó seu mestre nun tempo record.... ¡e cal foi a sorpresa deste cando se topou ca resposta correcta!
 |
Ademáis de dar a resposta correcta, ante a
pregunta do seu mestre, razoou a resposta da seguinte forma: 1+100=101,2+99=101,3+98=101,.., sempre suman 101. Como son 50 sumas, non teño mais que facer 50*101= 5050. |
Sen facer este razoamento, que por suposto é certo, se a nos nos fan a pregunta, poderíamos responder:
Os números: 1, 2, 3, ....., 100 son os termos dunha progresión aritmética de diferencia d=1, logo:
S = 100*(1+100)/2 = 1010/2 = 5050
Conta unha antiga lenda que Sheram, príncipe da india, quedou tan maravillado cando coñeceu o xogo do xadrez, que quixo gratificar a Sessa creador deste entretemento, tal invento. Para isto, díxolle: "Pídeme o que queiras". Sessa, respondeulle: "Soberano, manda que me entreguen un gran de trigo pola primeira casilla do tableiro, dous pola segunda, catro pola terceira, oito pola cuarta, e así sucesivamente ata a casilla 64".
¿Cantos grans de trigo debe entregar o príncipe para recompensar a Sessa?
PARADOXA DE ZENÓN: "Dicotomía"
Esta é a primeira paradoxa de Zenón, nela négase o movemento:
"Non hai movemento porque para que algo recorra un espacio, debe primeiro chegar á metade(1/2), pero antes chegar a metade da metade: 1/4, antes á metade da metade da metade: 1/8, previamente alcanzar 1/16, e así indefinidamente.... Logo nunca comenzámolo movemento"
Tratemos de resolvelo....
Se nos fixamos no debuxo, os números que aparecen: d/2, d/4, d/8, d/16, ....., correspóndense cos termos dunha progresión xeométrica de razón r=1/2, e primeiro termo a1=d/2.
Logo, esta sucesión de números podémola representar co termo xeral: an=d/2*(1/2)n-1
E polo tanto, esta paradoxa resólvese obtendo a suma de tódolos termos: d/2+d/4+d/8+....., que como sabemos é:
S=a1/(1-r).
| Sustituindo temos: |
 |
Que é precisamente a distancia a recorrer.
