Progresións Aritméticas.

Unha sucesión de números {a₁,a₂,a₃,a₄,.....}é unha progresión aritmética se cada termo se obtén do anterior sumándolle unha cantidade fixa (que pode ser positiva ou negativa) . A esta cantidade constante chamámoslle diferencia, e representarémola coa letra d. 

 É dicir:  a_n=a_n-1+d

O termo xeral dunha sucesión deste tipo é: 

 A suma dos n primeiros termos dunha progresión arimética ven dada pola seguinte expresión:

Exemplo:

Determina o número de badaladas que dá o reloxio nun día. Supoñendo que só as da cada hora.

Sabemos que un reloxio dá as badaladas cada hora, e que da tantas como a hora que ten que indicar.

É dicir:

1, 2 , 3 , 4, ..............,12,  dende a unha do mediodía ata medianoite,

e logo repítese :    1, 2, ..............., 12.

Se nos fixamos na sucesión {1,2,3,4....,12}, esta é unha progresión aritmética de diferencia d=1

logo a suma de tódalas badaladas será igual a duas veces a suma dos términos desta progresión aritmética,

segundo a fórmula que acabamos de ver, obteríamos:

S₁₂=12*(1+12)/2=78

Entón a campana, ó cabo do día da 78*2=156 badaladas

Progresións Xeométricas.

Unha sucesión de números {a₁,a₂,a₃,a₄,.....}é unha progresión xeométrica se cada un dos seus termos se obtén multiplicanodo o termo anterior por unha cantidade fixa r (que pode ser positiva ou negativa). Esta cantidade r denomínase razón da progresión xeométrica {a_n}.

É dicir:   a_n=r . a_n-1

_{En función do valor de r teremos:}

O termo xeral dunha progresión xeométrica é: 

O producto dos n primeiros termos dunha progresión xeométrica ven dada pola seguinte expresión:

A suma dos n primeiros termos dunha progresión xeométrica ven dada pola seguinte expresión:

A suma dos termos dunha progresión xeométrica ilimitada de razón 0<r<1:

Exemplo:

O noso protagonista decide investigar se pode ou non confiar nos habitantes de  Springfield , e para facelo conta un segredo a un deles. Este veciño, ó cabo dun minuto conta o segredo a outros tres; no seguinte minuto cada un destes tres veciños transmítellelo a tres máis; que continuan comunicando a nova do mesmo xeito. Se ó cabo de 15 minutos xa o coñecian tódolos habitantes da cidade ¿Cal é o número de habitantes de  Springfield?

Interpretemos no seguinte esquema os datos que nos dan:

A Sucesión de Fibonacci.

Coñécese con este nome á seguinte sucesión:

{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, .......} 

o primeiro e o segundo elemento son iguais a 1, e cada un dos restantes termos obtéñense sumando os dous inmediatamente anteriores.

É dicir podemos expresar esta sucesión da seguinte forma:

Calquera sucesión que se poida expresar desta forma diremos que é unha: SUCESIÓN  RECURRENTE

É curiosa a orixe desta sucesión, nace de dar solución ó seguinte problema:

"Supoñamos que temos uha parella de coellos, macho e femia, pechados nun recinto no campo onde poden aniñar e criar. Supoñamos que estes coellos comenza a procrear ós 2 meses de vida, engendrando sempre un único par macho-femia, e a partir dese momento, cada un dos meses seguintes un par máis de iguales características. Admitindo que non morre ningún dos coelliños, ¿cántos pares contería o cercado ó cabo dun ano?"

Este problema que acabamos de plantexar, xunto con moitos outros, foi proposto por Leonardo de Pisa, mais coñecido como  Fibonacci, no seu libro Liber Abaci.

Son múltiples as propiedades desta  coñecida sucesión, por exemplo unha delas é:

"A suma de calesquera dez termos consecutivos da sucesión de Fibonacci é igual a 11 veces o séptimo deles".

E poderíamos continuar largo e tendido falando desta curiosa sucesión, atopámola en problemas de bioloxía, economía, etc...

A sucesión de Fibonacci tamén se ve representada no fractal coñecido como Conxunto de Mandelbrot, como se ve na imaxe que aparece ó comenzo desta páxina.

Por certo, se queredes saber algo mais de fractales recoméndovos que visitedes ó Sr. Frac

¡¡¡¡Queda na vosa man seguir "investigando" acerca da Sucesión de Fibonacci!!!!